考研所常用到的不等式

考研所常用到的不等式

考研中常用的不等式包括：

AM-GM不等式（算术平均-几何平均不等式）

对于非负实数$a_1, a_2, \cdots, a_n$，有

$$

\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}

$$

当且仅当$a_1 = a_2 = \cdots = a_n$时取等号。

Cauchy-Schwarz不等式

对于实数$a_1, a_2, \cdots, a_n$和$b_1, b_2, \cdots, b_n$，有

$$

\left（\sum_{i=1}^n a_i b_i\right）^2 \leq \left（\sum_{i=1}^n a_i^2\right）\left（\sum_{i=1}^n b_i^2\right）

$$

当且仅当存在实数$k$使得$b_i = ka_i$时取等号。

Chebyshev不等式

对于实数$a_1, a_2, \cdots, a_n$和$b_1, b_2, \cdots, b_n$，其中$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$，$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n$，有

$$