高中向量abc数量积

高中向量abc数量积

高中数学中，向量的数量积（也称为点积）是一个非常重要的概念，它用于计算两个向量之间的相似度。以下是向量数量积的基本定义和性质：

向量数量积的定义

设两个非零向量 \（ \vec{a} \） 和 \（ \vec{b} \） 的夹角为 \（ \theta \），则它们的数量积 \（ \vec{a} \cdot \vec{b} \） 定义为：

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \]

其中 \（ |\vec{a}| \） 和 \（ |\vec{b}| \） 分别是向量 \（ \vec{a} \） 和 \（ \vec{b} \） 的模（长度），\（ \theta \） 是这两个向量之间的夹角，取值范围是 \（ 0 \leq \theta \leq \pi \）。

向量数量积的性质

交换律：

\（ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \）

分配律：

\（ \vec{a} \cdot （\vec{b} + \vec{c}） = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \）

结合律：

\（ \lambda （\vec{a} \cdot \vec{b}） = （\lambda \vec{a}） \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot （\lambda \vec{b}） \）

零向量性质：

\（ 0 \cdot \vec{a} = 0 \）

向量与自身的数量积：

\（ \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \）

垂直向量性质：

若 \（ \vec{a} \perp \vec{b} \），则 \（ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \）