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如何通过判别式判断一元二次方程根的解的极值？

一元二次方程是数学中常见的一类方程，其一般形式为 ( ax^2 + bx + c = 0 )。其中，( a )、( b ) 和 ( c ) 是常数，且 ( a \neq 0 )。一元二次方程的解通常包括两个根，即 ( x_1 ) 和 ( x_2 )。通过判别式，我们可以判断一元二次方程根的解的极值。以下是详细解析。

什么是判别式？

判别式是判断一元二次方程根的性质的一个数学表达式，其公式为 ( \Delta = b^2 - 4ac )。根据判别式的值，我们可以确定一元二次方程的根的性质。

判别式与根的关系

当 ( \Delta > 0 ) 时，方程有两个不相等的实数根。此时，根的解的极值可以通过以下公式计算：
- 极大值：( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} )
- 极小值：( x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} )
当 ( \Delta = 0 ) 时，方程有两个相等的实数根。此时，根的解的极值只有一个，即：
- 唯一解：( x = \frac{-b}{2a} )
当 ( \Delta < 0 ) 时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。此时，根的解的极值不存在。

案例分析

以下是一元二次方程的几个实例，我们将通过判别式判断其根的解的极值。

案例 1：( x^2 - 4x + 4 = 0 )

计算判别式：( \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 0 )
根的解的极值：( x = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = 2 )

案例 2：( x^2 - 6x + 9 = 0 )

计算判别式：( \Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 0 )
根的解的极值：( x = \frac{-(-6)}{2 \times 1} = 3 )

案例 3：( x^2 - 5x + 6 = 0 )

计算判别式：( \Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 1 )
根的解的极值：( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \times 1} = 3 )，( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \times 1} = 2 )

总结

通过判别式，我们可以判断一元二次方程根的解的极值。当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，此时可以通过上述公式计算根的极大值和极小值；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根，此时只有一个根的解的极值；当判别式小于零时，方程没有实数根，根的解的极值不存在。掌握判别式与根的关系，有助于我们更好地理解和解决一元二次方程问题。