高中不等式公式

高中数学中常见的不等式公式包括基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式和四边形不等式。以下是这些不等式的简要概述：

基本不等式

算术平均数与几何平均数的关系

对于任意两个正实数 \（a\）和 \（b\），有 \（\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geq \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\）。

当且仅当 \（a = b\）时，上述不等式中的等号成立。

算术平均数、几何平均数、平方平均数和调和平均数的关系

对于任意两个正实数 \（a\）和 \（b\），有 \（\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geq \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\）。

当且仅当 \（a = b\）时，上述不等式中的等号成立。

绝对值不等式

对于任意实数 \（a\）和 \（b\），有 \（\|a - b\| \leq |a| + |b|\）。

当且仅当 \（a\）和 \（b\）同号或其中一个为零时，上述不等式中的等号成立。

柯西不等式

对于任意实数序列 \（a_1, a_2, ..., a_n\）和 \（b_1, b_2, ..., b_n\），有 \（（a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n）^2 \leq （a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2）（b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2）\）。

当且仅当 \（a_i = \lambda b_i\）（\lambda\）为常数，\（i = 1, 2, ..., n\）时，上述不等式中的等号成立。

四边形不等式

对于任意实数序列 \（a_1, a_2, ..., a_n\）和 \（b_1, b_2, ..., b_n\），有 \（\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}\）。

当且仅当 \（a_i = b_i\）（\forall i = 1, 2, ..., n\）时，上述不等式中的等号成立。

这些不等式在解决优化问题、证明不等式和计算函数的最值等方面非常有用。需要注意的是，上述不等式中的等号仅在特定条件下成立，通常这些条件是变量相等或满足某些特定关系。