高中凹函数证明例题

高中数学中关于凹函数的证明题，通常涉及对函数凹凸性的理解以及相关的数学性质。以下是一些高中凹函数证明例题的简要解答：

例1：证明函数 \（ f（x） = \ln（1 + e^x） - x \）是凹函数

解答：

1. 求二阶导数：

$$f'（x） = \frac{d}{dx} \left（ \ln（1 + e^x） - x \right） = \frac{e^x}{1 + e^x} - 1$$

$$f''（x） = \frac{d}{dx} \left（ \frac{e^x}{1 + e^x} - 1 \right） = \frac{e^x}{（1 + e^x）^2} > 0$$

2. 由于 \（ f''（x） > 0 \）对所有 \（ x \in \mathbb{R} \）成立，根据凹函数的定义，函数 \（ f（x） \）是凹函数。

例2：证明二次函数 \（ f（x） = ax^2 + x \）（其中 \（ a > 0 \））是凹函数

解答：

1. 求二阶导数：

$$f'（x） = 2ax + 1$$

$$f''（x） = 2a$$

2. 由于 \（ a > 0 \），所以 \（ f''（x） = 2a > 0 \）对所有 \（ x \in \mathbb{R} \）成立，根据凹函数的定义，函数 \（ f（x） \）是凹函数。

例3：证明不等式 \（ \frac{1}{2}（x^n + y^n） > \left（ \frac{x + y}{2} \right）^n \）（其中 \（ x > 0, y > 0, x \neq y, n > 1 \））

解答：

1. 因为 \（ y = x^n \）（其中 \（ n > 1 \）），所以 \（ y = x^n \）是凹函数。