矩阵的特征值

矩阵的特征值

矩阵的特征值是线性代数中的一个重要概念，它们在高中数学中通常作为矩阵理论的一部分被介绍。以下是矩阵特征值的基本定义和性质：

定义

对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得：

\[ A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \]

则称λ为矩阵A的一个特征值，而向量x称为对应的特征向量。

特征方程

特征值可以通过求解特征方程来找到，即求解行列式 |A - λI| = 0，其中I是单位矩阵。

特征值的性质

实对称矩阵的特征值都是实数：

如果矩阵A是对称的，那么它的特征值也是实数。

正定矩阵的特征值都是正数：

如果矩阵A是正定的，那么它的所有特征值也都是正数。

幂等矩阵的特征值只可能是0或1：

如果A² = A，则A是幂等矩阵，其特征值只能是0或1。

矩阵的迹等于特征值之和：

tr（A） = λ1 + λ2 + ... + λn，其中λ1, λ2, ..., λn是矩阵A的特征值。

矩阵的行列式等于特征值的乘积：

|A| = λ1 * λ2 * ... * λn。

求特征值的方法

一种常见的求特征值的方法是使用特征多项式 |λI - A| = 0，其中I是单位矩阵。这个方程的根即为矩阵A的特征值。

几何意义